2.1 Estructura nuclear
Hasta el momento se considero al núcleo atómico como un punto con masa y carga positiva. Si bien las principales propiedades de los átomos se pueden explicar gracias al comportamiento de sus electrones, hay cuestiones tales como la masa atómica o la radiactividad, entre tantas otras, que solo pueden ser abordadas mediante el estudio de los núcleos atómicos.
Las primeras investigaciones del núcleo atómico fueron conducidas por Rutherford, el fundador de la física nuclear. Por aquel entonces, ya se habían descubierto tres tipos de radiaciones procedentes de los átomos.
-
Partículas alfa: Iones de helio con carga positiva.
-
Partículas beta: Partículas ligeras cargadas con alta energía.
-
Rayos gamma: Radiación electromagnética de alta energía que se emite por el núcleo de los átomos
La existencia del núcleo atómico fue deducida del experimento de Rutherford, donde se bombardeó una lámina fina de oro con partículas alfa, emitidas por rocas radiactivas. La mayoría de esas partículas traspasaban la lámina, pero algunas rebotaban, lo cual demostró la existencia de un minúsculo núcleo atómico.
Ejemplo: Dispersión de Rutherford.
Es posible mediante experimentos de este tipo estimar el radio nuclear. Veamos un ejemplo. En la siguiente figura se muestran datos experimentales de dispersión de partículas \(\alpha\) sobre átomos de plomo.
Un proyectil cargado se desacelera a medida que se acerca al núcleo intercambiando su energía cinética por energía potencial electrostática debido a la repulsión nuclear. Esta energía potencial esta dada por:
Donde \(Z_1\) y \(Z_2\) son las cargas de las partículas \(\alpha\) y el núcleo. La máxima energía potencial y mínima energía cinética se dan cuando la distancia entre el proyectil y el núcleo es mínima, como muestra la siguiente figura:
Podemos escribir entonces la energía cinética de la partícula \(\alpha\) como:
La conservación del momento angular nos da por otra parte una expresión para \(v_{mín}\):
Luego, reemplazando la velocidad mínima:
Resolvemos para hallar la distancia mínima al núcleo:
Los datos del grafico nos dice que esta relación deja de cumplirse para energías \(K_{\alpha}\) mayores a \(27 \text{MeV}\). Esto nos dice que para dicha energía la interacción entre el núcleo y la partícula \(\alpha\) empieza a ser predominante. Luego la distancia entre la partícula \(\alpha\) y el núcleo será \(r_{mín}\). Reemplazando:
- \(K_{\alpha} \approx 27 \text{MeV}\)
- \(Z_1 = 2\), el numero atómico de una partícula \(\alpha\)
- \(Z_2 = 82\), el numero atómico del plomo.
- \(k = 8.9875517873681764 \times 10^9 \, \text{J m}/\text{C}^2\)
- \(e = 1.602 \times 10^{-19} \text{C}\).
Obtenemos un radio nuclear aproximado para el \(^{208}\text{Pb}\) de \(8.7 \text{fm}\).
Nucleidos
El núcleo atómico existe en una multitud de diferentes especies conocidas como nucleidos. Cada elemento corresponde a un átomo específico con diferente número de neutrones. Los nucleidos se llaman isótopos entre sí si tienen el mismo número atómico. Esta variedad de nucleidos tiene distintos valores de masa \(A\) dado un número atómico \(Z\).
Los números \(A\) y \(Z\) son los números cuánticos que caracterizan a un nucleido, y definimos también el número \(N\) como el número de neutrones en un núcleo, de tal forma que:
La designación de una especie nuclear se hace mediante la notación \(^{A}_{Z}X_N,\) donde \(X\) es el símbolo del elemento químico. Las especies con el mismo número \(A\) se denominan isóbaros, y las especies con el mismo número \(N\) pero un \(Z\) diferente se denominan isótonos.
Abundancias
Un isótopo que existe en la naturaleza se llama isótopo natural. La abundancia de un isótopo se mide en términos de la fracción de la cantidad total de ese elemento que es ese isótopo y está relacionada con la masa de los isótopos naturales como:
En donde \(\bar{M}\) es la masa promedio del elemento, \(f_i\) es la abundancia del isótopo \(i\) y \(M_i\) es la masa del isótopo \(i\).
Ejemplo: Abundancia del Neón
Las masas atómicas y las abundancias del neón natural son:
| Número de masa | Masa atómica | Abundancia |
|---|---|---|
| \(20\) | \(19.9924401754\) | \(90,48\%\) |
| \(21\) |
\(20.99384669\) | \(0,27\%\) |
| \(22\) | \(21.991385114\) | \(9,25\%\) |
La masa atómica del neón natural es el promedio ponderado de las masas atómicas de sus isótopos estables. Esto da como resultado una masa atómica de \(20.180\text{u}\).
Energía en reposo y energía ligante
El concepto de la energía en reposo juega un rol mayor en el comportamiento de los núcleos a diferencia de los átomos.
En los procesos atómicos son de baja energía y que los constituyentes de un átomo no pueden transformarse en diferentes especies, ya que las masas en reposo y las energías mantienen sus identidades. Es consistente dejarlas fuera del análisis. El mismo argumento no se sostiene para los núcleos debido a la excitación nuclear y la transformación entre energías comparables.
Las contribuciones relativistas constituyen una parte significativa de la energía de los núcleos y no pueden ser despreciadas.
La energía ligante es una propiedad de cualquier agregado de partículas unidas por interacciones atractivas. La energía en reposo \(Mc^2\) es identificada como la energía relativista total de dicho sistema visto desde su centro de masa, junto con la energía cinética y potencial del sistema.
La energía potencial total debe ser atractiva para mantener el núcleo unido con partículas traídas desde el infinito. La energía de los constituyentes separados en reposo consiste solamente en la suma de las energías en reposo de cada partícula, y esta cantidad debe exceder a \(Mc^2\).
Podemos de esta forma definir a la energía ligante, como la diferencia de energía en reposo de los constituyentes y la energía en reposo del agregado.
Para un nucleido \(^A_ZX\) podemos escribir entonces su energía de ligadura como:
En donde \(M(^1H)\) es la masa del átomo de hidrógeno, \(M_n\) la masa del neutrón, \(M(^A_ZX)\) es la masa del nucleido \(^A_ZX\) y \(N = A - Z\) es el número de neutrones.
Ejemplo: Energía de ligadura de partícula \(\alpha\)
Veamos un ejemplo. Hallemos la energía de ligadura del \(^4\text{He}\) y del \(^{208}\text{Pb}\) y evaluemos la energía de ligadura por nucleón. Reemplazando los valores:
- \(M(^4He) = 4.00260325413 \text{u}\)
- \(M(^{208}Pb) = 207.9766521 \text{u}\)
- \(M_n = 1.00866491588 \text{u}\)
- \(M(^1H) = 1.007276466621 \text{u}\)
- \(c = 3 \times 10^8 \text{m/s}\)
La energía de ligadura para cada átomo es:
- \(E_b(^4He) = 28.3 \text{MeV}\)
- \(E_b(^{208}Pb) = 1647.5 \text{MeV}\)
Finalmente la energía de ligadura por nucleón, es decir por cada protón o neutrón:
- \(E_b(^4He) = 7.1 \text{MeV}\)
- \(E_b(^{208}Pb) = 7.9 \text{MeV}\)
Esta ultima es una medida de estabilidad de los núcleos.
Ejemplo: Energía de ligadura de neutrón
Hallemos la energía necesaria para separar un neutrón de los nucleidos \(^{113}\text{Cd}\) y \(^{114}\text{Cd}\). Las masas atómicas de los isótopos de Cadmio son respectivamente:
- \(M(^{112}\text{Cd}) = 111.9027639 \text{u}\)
- \(M(^{113}\text{Cd}) = 112.90440811 \text{u}\)
- \(M(^{114}\text{Cd}) = 113.903365 \text{u}\)
La energía de separación de un neutrón, será la diferencia entre la energía del isótopo en reposo \(^A_ZX_N\) y la energía de los constituyentes, es decir, la energía del isotopo \(^{A-1}_ZX_{N-1}\), y la energía en reposo del neutrón. Esto es:
Reemplazando en esta formula se puede ver que se necesitan \(6.5\text{MeV}\) y \(9.01\text{MeV}\) respectivamente para separar un neutrón de los isotopos \(^{113}\text{Cd}\) y \(^{114}\text{Cd}\) respectivamente. Se necesita casi un \(50\%\) más de energía para separar un neutrón del isotopo \(^{114}\text{Cd}\), esto nos indica que este ultimo será más estable.
Ejemplo: Medición de masas atómicas
Un método para medir masas atómicas con precisión extremadamente alta se denomina doblete de masas. Este método consiste en calibrar el espectrómetro para un valor próximo a la masa a determinar y medir la diferencia de masa entre moléculas de masas muy similares. Un espectrómetro de masa se calibra para la masa \(128 \text{u}\).
Se mide la diferencia \(\Delta\) entre las masas moleculares de \(\text{C}_9\text{H}_{20}\) y \(\text{C}_{10}\text{H}_8\), obteniéndose \(\Delta = (0,09390032 \pm 0,00000012) \text{u}\). Despreciando la corrección por la diferencia en energías de ligadura molecular (del orden de \(10^{−9} \text{u}\)), determinemos la masa atómica de \(^1H\) y su incertidumbre.
Se mide la diferencia:
Como por definición \(M(^{12}\text{C}) = 12 \text{u}\), el cual es el isotopo mas común y con el cual están formadas estas moléculas, tendremos entonces que:
La masa del hidrógeno atómico y su incertidumbre será de \(M(^1\text{H}) = (1.0078250267 \pm 0,00000001)\).
La fórmula semi-empírica
Existe un modelo matemático en física nuclear que estima la energía de enlace y la masa de un núcleo atómico en función del número de protones y neutrones. Esta se denomina formula semi-empírica de Weizsäcker. Se considera cinco términos:
- El término de volumen, que es proporcional al número cuántico \(A\). Representa la contribución de la fuerza nuclear atractiva, que es proporcional al número total de nucleones.
- El término de superficie, que es proporcional a \(A^{2/3}\). Compensa la menor cohesión de los nucleones en la superficie del núcleo.
- El término de Coulomb, que es proporcional a \(Z(Z-1)/A^{1/3}\). Describe la repulsión entre protones dentro del núcleo.
- El término de asimetría, que es proporcional a \(\frac{(A/2-z)^2}{A}\). Explica que los núcleos con un número desbalanceado de protones y neutrones son menos estables.
- Un ultimo termino que introduce una corrección adicional para la estabilidad según si el número de protones y neutrones es par o impar.
La energía de enlace del agregado de estos términos es:
Se puede predecir la masa de un núcleo atómico utilizando esta formula.
En donde la adición de un término de paridad \(\epsilon_5\) es necesaria para ajustar la fórmula a los datos experimentales. Los valores de los coeficientes \(a_i\) son obtenidos ajustando la fórmula a los datos experimentales. Un ajuste típico de los coeficientes es:
Si se deriva la fórmula, con respecto a \(Z\), obtenemos la tasa de cambio de la masa con respecto al número atómico dado un número másico \(A\) fijo. Por lo que es posible hallar un mínimo igualando la derivada a 0.
Podemos hallar una región de estabilidad de esta forma, ya que los isobaros en el mínimo corresponderán a aquellos estables.
El modelo del gas de Fermi
Los nucleones son fermiones que obedecen el principio de Pauli, esto hace que su función de onda conjunta en el núcleo sea anti-simétrica.
Esto ultimo, junto con la naturaleza de la interacción nuclear, da lugar a un potencial central de corto alcance, es decir, una especie de “pozo de energía” que mantiene a los nucleones confinados en el núcleo. Dentro de este pozo existen niveles de energía discretos, similares a los niveles que ocupan los electrones en los átomos.
Según el principio de exclusión de Pauli, cada nivel puede albergar como máximo dos protones y dos neutrones, uno con espín hacia arriba y otro con espín hacia abajo. Esto es posible porque protones y neutrones, aunque ambos sean fermiones, son partículas distintas, por lo que pueden compartir un mismo nivel sin violar el principio.
Como consecuencia, cuando el núcleo contiene cantidades iguales de protones y neutrones, los niveles se llenan de forma simétrica y eficiente, manteniendo la energía total lo más baja posible. En cambio, si hay un exceso de alguno de los dos, los nucleones sobrantes deben ocupar niveles más altos, lo que incrementa la energía del sistema y reduce su estabilidad.
En la siguiente imagen se pueden ver dos formas de ocupar los niveles de energía del potencial, en donde aquella con un numero similar de neutrones y protones tendrá una energía menor y por lo tanto será mas estable.
En este modelo, el núcleo se considera como una colección de protones y neutrones que se mueven libremente dentro de un volumen esférico. Esta aproximación se conoce como modelo del gas de Fermi degenerado.
Es importante notar que tanto la energía de Fermi como el número de partículas son mayores en el caso de los neutrones, ya que el efecto Coulombiano reduce la atracción nuclear y eleva el nivel del pozo potencial para los protones.
Modelo de capas
Supongamos un núcleo con \(Z\) protones y \(N\) neutrones. Podemos escribir su momento angular como:
En donde \(p_k\) y \(n_k\) denotan al \(k\)-ésimo protón y neutrón, respectivamente. De esta forma podemos escribir los autoestados del momento angular del núcleo como:
Con: - \(m_i = -i, -i+1, \dots, i\) - \(i = 0, 1, 2, ...\) en el caso de un número \(A\) par. - \(i = 1/2, 3/2, 5/2 ...\) para un número \(A\) impar.
Este comportamiento se debe a que cada nucleón tiene espín \(1/2\), por lo que un número par de nucleones puede sumar (por acoplamiento) a un espín total entero y un número impar de nucleones necesariamente da un espín total semientero.
La analogía con el modelo de capas electrónicas en átomos nos lleva a adoptar la notación espectroscópica para describir los estados nucleares, usando letras \(s, p, d, f,...\) de acuerdo con los valores \(l = 0, 1, 2,...\) del momento angular orbital.
Esta organización por niveles y la ocupación de los estados siguiendo el principio de exclusión de Pauli permite construir una estructura de capas nucleares, análoga a la estructura electrónica en los átomos.
En los sistemas atómicos, los electrones se distribuyen en niveles energéticos (o capas) determinados por el momento angular orbital \(l\) y el espín, lo que da lugar a configuraciones particularmente estables cuando estas capas están completamente llenas. Esta estructura de capas electrónicas explica, por ejemplo, la notable estabilidad química de los gases nobles (como el helio, neón o argón), cuyos números atómicos corresponden a capas cerradas: \(2\), \(10\), \(18\), etc. Estos elementos son químicamente inertes precisamente porque sus capas electrónicas están completas, y no tienden a ganar o perder electrones.
De manera análoga, en el caso nuclear también se observa una estructura de capas, en la que los nucleones (protones y neutrones) ocupan niveles energéticos discretos. Al igual que en los átomos, el llenado completo de estas capas nucleares conduce a configuraciones especialmente estables. En la siguiente figura se pueden observar las energías de ligadura en función del numero de neutrones:
En el grafico se puede ver que los elementos con números masicos \(A = 17, 40, 54, 91, 140, 209\) poseen energías de ligadura excepcionalmente altas. El número de neutrones de estos elementos serán:
y corresponden a los denominados números mágicos, los cuales como se verán son de gran importancia para el modelo de capas nucleares. En la siguiente figura pueden observarse las poblaciones de nucleidos estables según el número de protones y neutrones:
Los números mágicos observados en los núcleos indican que los nucleones no se comportan como partículas independientes, sino que su interacción genera una estructura de niveles de energía que confiere estabilidad particular a ciertas configuraciones.
Para poder describir y entender esta estructura, necesitamos un modelo que no solo capture de forma efectiva las fuerzas y dinámicas internas del núcleo, sino que además sea consistente con la aparición de los números mágicos observados experimentalmente. Consideremos el hamiltoniano del agregado de nucleones como:
En donde \(\hat{V}\) es el potencial tal que para una función de onda \(\psi\) actúa como::
Desde un punto de vista formal el potencial de interacción contiene \(A\) cuerpos, lo cual hace que su resolución sea técnicamente inviable. Debido a esto se utiliza la teoría del campo medio. Es decir se considera que cada nucleón se mueve en un potencial promedio, el cual es la suma de los potenciales de todos los otros nucleones.
Para superar esta dificultad se recurre a la teoría del campo medio, en la cual cada nucleón se considera que se mueve de manera independiente en un potencial promedio efectivo generado por la interacción con los demás nucleones. Es decir, el potencial \(\hat{V}\) se reemplaza por un potencial efectivo fenomenológico, que refleja el efecto medio del resto del sistema sobre un nucleón dado.
Un potencial fenomenológico utilizado para este propósito es el potencial de Wood-Saxon, el cual se define como:
donde \(V_0\), \(R\) y \(a\) son parámetros ajustados empíricamente.
Sin embargo, la introducción de este potencial por sí sola no es suficiente para reproducir correctamente todos los números mágicos observados (más allá de los primeros). Para lograrlo, es fundamental incorporar el acoplamiento espín-órbita, lo que implica agregar al potencial un término adicional de la forma:
donde \(\vec{L}\) y \(\vec{S}\) son los operadores de momento angular orbital y espín del nucleón, respectivamente. Recordando que el momento angular total del núcleo es \(\vec{J} = \vec{L} + \vec{S}\), se tiene:
por lo que el término de acoplamiento puede reescribirse como:
Este término no solo divide los niveles energéticos con mismo \(l\) en dos subniveles con diferente \(j\), sino que también genera una separación energética dependiente de \(l\), lo cual permite reproducir correctamente la secuencia de números mágicos observada experimentalmente.
Los valores esperados del operador \(\vec{L} \cdot \vec{S}\) para los estados acoplados \(\ket{j = l \pm 1/2, m}\) son:
El efecto del acoplamiento espín-órbita es crucial para modificar la estructura fina de los niveles energéticos. Para un mismo valor de \(l\), este término divide el nivel en dos subniveles con momentos angulares totales \(j = l \pm 1/2\), cuya separación crece con \(l\). Además, el subnivel con \(j = l + 1/2\) queda más ligado (es decir, más bajo en energía) que el correspondiente con \(j = l - 1/2\).
Esta división introduce una redistribución en la secuencia de niveles disponibles para los nucleones. Dado que cada subnivel puede alojar \(2j + 1\) nucleones por el principio de exclusión de Pauli, la combinación de degeneraciones y separaciones energéticas permite acumular ciertos números de nucleones antes de pasar al siguiente nivel accesible.
En la figura anterior se muestra esquemáticamente esta estructura de niveles energéticos, incluyendo la división por acoplamiento espín-órbita. Puede observarse cómo, al ir llenando los niveles desde los más ligados hacia arriba, aparecen cerramientos completos de capas para ciertos valores específicos del número de nucleones. Estos valores corresponden precisamente a los números mágicos: \(2\), \(8\), \(20\), \(28\), \(50,...\) etc.
De este modo, el modelo de capas con campo medio y acoplamiento espín-órbita proporciona una explicación natural y cuantitativa para la estabilidad observada en núcleos con números mágicos, validando la interpretación de la estructura nuclear en términos de niveles discretos, de manera análoga a los electrones en los átomos.
Ejemplo
Utilizando el modelo de capas se puede escribir por ejemplo la configuración nuclear del \(^{17}_8 \text{O}\) como:
-
\((1s_{1/2})^2(1p_{3/2})^4(1p_{1/2})^2\) para los protones.
-
\((1s_{1/2})^2(1p_{3/2})^4(1p_{1/2})^2(1d_{5/2})^{1}\) para los neutrones.
Luego todas las propiedades nucleares del oxigeno pueden ser encontradas a partir de la capa no llena \((1d_{5/2})^{1}\). El espín del núcleo será simplemente \(I = 5/2\) y su paridad \(P = (-1)^l = (-1)^2 = +1\).