3.4.1 Dispersión Electrón Muón
El muón es una partícula elemental masiva similar al electrón, con la misma carga eléctrica de \(-e\) y un espín de \(1/2\), pero con una masa mucho mayor, unas \(206.7682830(46)\) veces la del electrón. Se clasifica como leptón y al igual que otros leptones, está no esta compuesto por ninguna partícula más simple.
Sean \(m\) la masa del electrón y \(M\) la masa del muón. Consideremos el experimento de dispersión de Mott (\(m << M\)):
\[
e^- + \mu^- \rightarrow e^- + \mu^-
\]
Denotamos \(p_1\) y \(p_3\) a los \(4\)-momentos inicial y final del electrón y \(p_2\) y \(p_4\) a los \(4\)-momentos inicial y final el muón. Considerando el marco de referencia en el muón e ignorando el impulso de este, podemos escribir:
\[
p_1 = (\frac{E_1}{c}, \vec{p}_1) \qquad p_2 = (Mc, 0) \qquad p_3 = (\frac{E_1}{c}, \vec{p}_3) \qquad p_4 = (Mc, 0)
\]
Hallamos ahora el factor de flujo. Para ello partimos del producto de los momentos iniciales y manipulamos la expresión para hallar el factor de flujo \(F\):
\[
p_1 \cdot p_2 = \frac{E_1}{c} Mc = \sqrt{|\vec{p}_1|^2 + (mc)^2} Mc
\]
\[
(p_1 \cdot p_2)^2 = |\vec{p}_1|^2 M^2 c^2 + m^2 M^2 c^4
\]
\[
(p_1 \cdot p_2)^2 - (mMc^2)^2 = |\vec{p}_1|^2 M^2 c^2
\]
\[
F = 4\sqrt{(p_1 \cdot p_2)^2 - (mMc^2)^2} = 4M c |\vec{p}_1|
\]
La sección transversal del proceso estará dada por:
\[
\begin{aligned}
\sigma = \frac{\hbar^2S}{F} \int |\mathcal{M}|^2 (2\pi)^4 \delta^4(p_1+p_2-p_3-p_4)
\\
(2\pi) \big[ \delta(p_3^2 - m^2c^2) \theta(p_3^0) \big]
(2\pi) \big[ \delta(p_4^2 - M^2c^2) \theta(p_4^0) \big] \frac{d^4 p_3}{(2\pi)^4} \frac{d^4 p_4}{(2\pi)^4}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\sigma = \frac{\hbar^2}{4M c |\vec{p}_1|} \frac{1}{(2\pi)^2}
\int |\mathcal{M}|^2 \delta(p^0_1+p^0_2-p^0_3-p^0_4) \delta^3(\vec{p}_1 - \vec{p}_3)
\\
\frac{\delta(p^0_3 - \sqrt{|\vec{p}_3|^2 + m^2c^2})}{2\sqrt{|\vec{p}_3|^2 + m^2c^2}}
\frac{\delta(p^0_4 - Mc)}{2Mc} dp^0_3 d^3\vec{p}_3
\end{aligned}
\]
\[
\sigma = \left(\frac{\hbar}{8\pi}\right)^2 \frac{1}{Mc |\vec{p}_1|}
\int |\mathcal{M}|^2 \frac{\delta(E_1/c - \sqrt{|\vec{p}_3| + (mc)^2})}{\sqrt{|\vec{p}_3|^2 + m^2c^2} Mc} \delta^3(\vec{p}_1 - \vec{p}_3) d^3 \vec{p}_3
\]
Nos interesa la sección transversal diferencia \(d\sigma / d\Omega\). Derivando ambos miembros:
\[
\frac{d \sigma}{d\Omega} = \left(\frac{\hbar}{8\pi} \frac{|\mathcal{M}|}{Mc} \right)^2 \frac{1}{ |\vec{p}_1| }
\int
\frac{\delta(E_1/c - \sqrt{|\vec{p}_3|^2 + m^2c^2})}{\sqrt{|\vec{p}_3|^2 + m^2c^2}} |\vec{p}_3|^2 \delta(|\vec{p}_1| - |\vec{p}_3|)d|\vec{p}_3|
\]
Reemplazamos ahora:
\[
u \equiv \sqrt{|\vec{p}_3|^2 + m^2c^2} \Rightarrow \frac{du}{d|\vec{p}_3|} = \frac{|\vec{p}_3|}{\sqrt{|\vec{p}_3|^2+ m^2c^2}} = \frac{|\vec{p}_3|}{u} \Rightarrow |\vec{p}_3|udu = |\vec{p}_3|^2d|\vec{p}_3|
\]
\[
\frac{d \sigma}{d\Omega} = \left(\frac{\hbar}{8\pi} \frac{|\mathcal{M}|}{Mc} \right)^2 \frac{1}{ |\vec{p}_1| }
\int
\frac{\delta(E_1/c - u)}{u} |\vec{p}_3| u du
\]
En donde los módulos de los \(4\)-momento \(p_1\) y \(p_3\) se cancelan y la integral de la delta es simplemente uno. Finalmente la sección transversal diferencial para la dispersión de Mott electrón-muón será simplemente:
\[
\frac{d \sigma}{d\Omega} = \left(\frac{\hbar}{8\pi} \frac{|\mathcal{M}|}{Mc} \right)^2
\]
Hallemos ahora la amplitud \(\mathcal{M}\) usando el ritual de Feynman. Notemos que para el proceso \(e^- + \mu^- \rightarrow e^- + \mu^-\) hay un solo diagrama de Feynman de orden dos:
Asociamos al diagrama:
-
\(4\)-momentos \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\) y \(p_4\) a las líneas externas y \(q\) a la línea interna.
-
Espinores \(u^{(s_1)}\), \(u^{(s_2)}\), \(\bar{u}^{(s_3)}\) y \(\bar{u}^{(s_4)}\).
-
Constantes de acople \(ig_e \gamma^{\mu}\) y \(ig_e \gamma^{\nu}\) en donde \(g_e\) es la constante de acoplamiento \(g_e = \sqrt{4\pi \alpha}\).
-
El propagador correspondiente a un fotón \(-ig_{\mu\nu}/ q^2\)
-
Términos asociados a la conservación del momento y energía \((2\pi)^4\delta^4(p_1 - q - p_3)\) y \((2\pi)^4\delta^4(p_2 + q - p_4)\).
Integramos hacia atrás partiendo del electrón que emerge:
\[
\begin{aligned}
i(2\pi)^4 \delta^4(p_1+p_2-p_3-p_4) \mathcal{M}
=
\int \big[\bar{u}^{(s_3)}(p_3) (ig_e\gamma^{\mu}) u^{(s_1)}(p_1)\big] (2\pi)^4\delta^4(p_1 - q - p_3)
\\ \\
(-\frac{ig_{\mu\nu}}{q^2}) (2\pi)^4\delta^4(p_2 + q - p_4)
\big[ \bar{u}^{(s_4)}(p_4) (ig_e\gamma^{\nu}) u^{(s_2)}(p_2) \big]
\end{aligned}
\]
Finalmente se cancelan las deltas y la unidad imaginaria, luego la amplitud del proceso será:
\[
\mathcal{M} = -\frac{g_e^2}{(p_1 - p_3)^2}\big[\bar{u}^{(s_3)}(p_3) \gamma^{\mu} u^{(s_1)}(p_1)\big] \big[\bar{u}^{(s_4)}(p_4) \gamma_{\mu} u^{(s_2)}(p_2)\big]
\]
\[
\equiv -\frac{g_e^2}{(p_1 - p_3)^2} \big[\bar{u}(3) \gamma^{\mu} u(1)\big] \big[\bar{u}(4) \gamma_{\mu} u(2) \big]
\]
Podemos hallar el valor esperado de la amplitud cuadrada usando el truco de Casimir. Sean \(G_1\) y \(G_2\) tales que:
\[
G_1 \equiv \big[\bar{u}(3) \gamma^{\mu} u(1) \big] ^2
\qquad
G_2 \equiv \big[\bar{u}(4) \gamma_{\mu} u(2)\big] ^2
\]
Notemos que
\[
\begin{aligned}
\big[ \bar{u}(3) \gamma^{\nu} u(1) \big]^{*}
=
\big[ u(3)^{\dagger} \gamma^0 \gamma^{\nu} u(1) \big]^{\dagger}
=
u(1)^{\dagger} (\gamma^0 \gamma^0 \gamma^{\nu \dagger} \gamma^{0\dagger}) u(3)
=
\big[ \bar{u}(1) \bar{\gamma}^{\nu} u(3) \big]
\end{aligned}
\]
En donde para \(\nu = 1, 2, 3\) se tiene que:
\[
\bar{\gamma}^{\nu} = \gamma^0 \gamma^{\nu \dagger} \gamma^{0\dagger} = \begin{pmatrix} \mathbb{I} & 0 \\ 0 & - \mathbb{I} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & -\sigma^{*\nu} \\ \sigma^{*\nu} & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \mathbb{I} & 0 \\ 0 & - \mathbb{I} \end{pmatrix} = \gamma^{\nu}
\]
Luego para \(G_1\):
\[
G_1
=
\big[ \bar{u}(3) \gamma^{\mu} u(1) \big]
\big[ \bar{u}(1) \gamma^{\nu} u(3) \big]
\]
\[
\sum_{s_1} G_1 = \bar{u}(3) \gamma^{\mu} \left( \sum_{s_1} u^{(s_1)}(p_1) \bar{u}^{(s_1)}(p_1) \right) \gamma^{\nu} u(3)
= \bar{u}(3) \gamma^{\mu} ( \cancel{p_1} + mc) \gamma^{\nu} u(3)
\]
\[
\begin{aligned}
\langle G_1\rangle = \frac{1}{2}\sum_{s_3}\sum_{s_1} G_1 = \frac{1}{2}\sum_{s_3}
\bar{u}^{(s_3)}(p_3) \gamma^{\mu} ( \cancel{p_1} + mc) \gamma^{\nu} u^{(s_3)}(p_3)
\\ \\
= \frac{1}{2} \text{Tr}[\gamma^{\mu} ( \cancel{p_1} + mc) \gamma^{\nu} (\cancel{p_3} + mc)]
\\ \\
= \frac{1}{2} (p_{1\sigma})( p_{3\lambda})\text{Tr}[\gamma^{\mu} \gamma^{\sigma} \gamma^{\nu} \gamma^{\lambda}] + \frac{1}{2} (mc)^2 \text{Tr}[\gamma^{\mu} \gamma^{\nu}]
\\ \\
= 2(p_{1\sigma})( p_{3\lambda})(g^{\mu \sigma} g^{\nu \lambda} - g^{\mu \nu} g^{\sigma \lambda} + g^{\mu \lambda} g^{\sigma \lambda}) + 2(mc)^2 g^{\mu \nu}
\\ \\
= 2 \big[p_1^{\mu} p_3^{\nu} + p_3^{\mu} p_1^{\nu} + ((mc)^2 - (p_1 \cdot p_3))g^{\mu \nu} \big]
\end{aligned}
\]
De la misma forma para \(G_2\) tenemos que:
\[ \begin{aligned}
\langle G_2\rangle = \frac{1}{2}\sum_{s_3} \sum_{s_1} G_2 = \frac{1}{2}\text{Tr}[\gamma_{\mu} ( \cancel{p_2} + Mc) \gamma_{\nu} (\cancel{p_4} + Mc)]
\\ \\
= \frac{1}{2} (p_{2\sigma})(p_{4\lambda}) \text{Tr}[\gamma_{\mu} \gamma^{\sigma} \gamma_{\nu} \gamma^{\lambda}] + \frac{1}{2} (Mc)^2 \text{Tr}[\gamma_{\mu} \gamma_{\nu}]
\\ \\
= 2(p_{2\sigma})(p_{4\lambda})(g_{\mu}{}^{\sigma} g_{\nu}{}^{\lambda} - g_{\mu \nu} g^{\lambda \sigma} + g_{\mu}{}^{\lambda} g_{\nu}{}^{\sigma}) + 2 (Mc)^2 g_{\mu \nu}
\\ \\
= 2 \big[p_{2\mu} p_{4\nu} + p_{4\mu} p_{2\nu} + ((Mc)^2 - (p_2 \cdot p_4))g_{\mu \nu} \big]
\end{aligned}
\]
Multiplicando \(\langle G_1\rangle\) y \(\langle G_2\rangle\) obtenemos:
\[
\langle G_1 G_2\rangle = 4 \big[p_1^{\mu} p_3^{\nu} + p_3^{\mu} p_1^{\nu} + ((mc)^2 - (p_1 \cdot p_3))g^{\mu \nu} \big] \big[p_{2\mu} p_{4\nu} + p_{4\mu} p_{2\nu} + ((Mc)^2 - (p_2 \cdot p_4))g_{\mu \nu} \big]
\]
\[
\begin{aligned}
= 4[2 (p_1\cdot p_2)(p_3 \cdot p_4) + 2(p_2\cdot p_3)(p_4 \cdot p_1) \\ \\
+ 4((mc)^2 - (p_1 \cdot p_3))((Mc)^2 - (p_2 \cdot p_4))\\ \\
+ 2 (p_1 \cdot p_3) ((Mc)^2 - (p_2 \cdot p_4)) \\ \\
+ 2 (p_2 \cdot p_4) ((mc)^2 - (p_1 \cdot p_3))
]
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
= 4 [ 2 (p_1\cdot p_2)(p_3 \cdot p_4) + 2(p_2\cdot p_3)(p_4 \cdot p_1) \\ \\
4 (m M c^2)^2 - 4(Mc)^2(p_1 \cdot p_3) - 4(mc)^2(p_2 \cdot p_4) + 4(p_1 \cdot p_3)(p_2 \cdot p_4)\\ \\
+ 2(p_1 \cdot p_3) (Mc)^2 - 2(p_1 \cdot p_3)(p_2\cdot p_4) \\ \\
+ 2(p_2 \cdot p_4) ((mc)^2 - 2(p_2 \cdot p_4)(p_1 \cdot p_3))
]
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
= 8 [ (p_1\cdot p_2)(p_3 \cdot p_4) + (p_2\cdot p_3)(p_4 \cdot p_1) \\ \\
2(m M c^2)^2 - (Mc)^2(p_1 \cdot p_3) - (mc)^2(p_2 \cdot p_4)(p_2 \cdot p_4)]
\end{aligned}
\]
Reemplazando podemos hallar el valor esperado del modulo cuadrado de la amplitud como:
\[
\begin{aligned}
\langle |\mathcal{M}|^2 \rangle = \frac{8 g_e^4}{(p_1 - p_3)^4} \big[ (p_1\cdot p_2)(p_3 \cdot p_4) + (p_2\cdot p_3)(p_4 \cdot p_1) \\ \\
- (Mc)^2(p_1 \cdot p_3) - (mc)^2(p_2 \cdot p_4) + 2(m M c^2)^2 \big]
\end{aligned}
\]
Finalmente podemos reemplazar en la sección transversal diferencial.
\[
\begin{aligned}
\frac{d \sigma}{ d \Omega} = \left(\frac{\hbar}{2 \pi Mc} \right)^2 \frac{g_e^4}{(p_1 - p_3)^4}
\big[ (p_1\cdot p_2)(p_3 \cdot p_4) + (p_2\cdot p_3)(p_4 \cdot p_1)
\\ \\
- (Mc)^2(p_1 \cdot p_3) - (mc)^2(p_2 \cdot p_4) + 2(m M c^2)^2
\big]
\end{aligned}
\]