3.4.2 Aniquilación Electrón Positrón
Consideramos el proceso:
\[
e^{-} + e^{+} \rightarrow \gamma + \gamma
\]
Y denotamos \(p_1, p_2\) a los \(4\)-momentos del electrón y el positrón respectivamente y \(p_3, p_4\) a los \(4\)-momentos de los fotones que emergen del proceso. Considerando el marco de referencia en el centro de masa:
\[
p_1 = (E/c, \vec{p}) \qquad p_2 = (E/c, -\vec{p}) \qquad p_3 = (\hbar k_3, \hbar\vec{k}_3) \qquad p_4 = (\hbar k_4, \hbar\vec{k}_4)
\]
Hallamos el factor el factor de flujo. Notemos que:
\[
p_1 \cdot p_2 = \frac{E^2}{c^2} + |\vec{p}|^2 = m^2c^2 + 2|\vec{p}|^2
\]
\[
(p_1 \cdot p_2)^2 = m^4 c^4 + 4|\vec{p}|^2 m^2 c^2 + 4|\vec{p}|^4
\]
\[
(p_1 \cdot p_2)^2 - (m^2c^2)^2 = 4|\vec{p}|^2(|\vec{p}|^2 + (mc)^2) = 4|\vec{p}|^2 E^2 / c^2
\]
\[
F = 4\sqrt{(p_1 \cdot p_2)^2 - (m^2c^2)^2 } = 8 |\vec{p}| E/c
\]
La sección transversal del proceso puede hallarse como:
\[
\begin{aligned}
\sigma = \frac{\hbar^2 S}{F} \int \mathcal{M}^2 (2\pi)^4 \delta^4(p_1+p_2-p_3-p_4) \\
(2\pi) \frac{\delta(p_3^0 - |\vec{p}_3|)}{2|\vec{p}_3|}
(2\pi) \frac{\delta(p_4^0 - |\vec{p}_4|)}{2|\vec{p}_4|} \frac{d^4p_3}{(2\pi)^4} \frac{d^4p_4}{(2\pi)^4}
\end{aligned}
\]
\[
\sigma = \frac{\hbar^2Sc}{8|\vec{p}|E} \left(\frac{1}{4\pi}\right)^2 \int \mathcal{M} \frac{\delta(p^0_1+p^0_2-p^0_3-p^0_4) } {|\vec{p}_3| |\vec{p}_4|} \delta(\vec{p_3} + \vec{p_4}) dp^0_3 dp^0_4 d^3\vec{p}_3 d^3\vec{p}_4\\
\]
\[
\sigma = \left(\frac{1}{8\pi}\right)^2 \frac{\hbar^2 Sc}{2|\vec{p}|E} \int \mathcal{M}^2
\frac{\delta(2E/c- 2|\vec{p}_3|) } {|\vec{p}_3|^2} d^3\vec{p_3}
\]
Nos interesa la sección transversal diferencial:
\[
\frac{d\sigma}{d\Omega}= \left(\frac{1}{8\pi}\right)^2 \frac{\hbar^2 Sc}{2|\vec{p}|E} \mathcal{M}^2 \int
\frac{\delta(2E/c- 2|\vec{p}_3|) } {|\vec{p}_3|^2} |\vec{p}_3|^2 d\vec{p_3}
\]
Finalmente la sección transversal diferencial para este proceso será simplemente:
\[
\frac{d\sigma}{ d\Omega} = \left(\frac{\hbar c}{16\pi}\right)^2 \frac{\mathcal{M}^2}{2|\vec{p}|cE}
\]
Hallemos ahora la amplitud \(\mathcal{M}\) usando el ritual de Feynman. Notemos que para el proceso \(e^{-} + e^{+} \rightarrow \gamma + \gamma\) hay dos diagramas de Feynman de segundo orden.
Siguiendo el ritual de Feynman asociamos a los diagramas:
-
\(4\)-momentos \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\) y \(p_4\) a las líneas externas y \(q\) a la línea interna.
-
Estados \(u^{(s_1)}\), \(\bar{v}^{(s_2)}\), \(\epsilon^{*(s_3)}\) y \(\epsilon^{*(s_4)}\).
-
Constantes de acople \(ig_e \gamma^{\mu}\) y \(ig_e \gamma^{\nu}\) en donde \(g_e\) es la constante de acoplamiento \(g_e = \sqrt{4\pi \alpha}\).
-
El propagador correspondiente a un fermión \(i \frac{\gamma^{\mu} q_{\mu} + mc}{q^2 - (mc)^2}\).
-
Términos asociados a la conservación del momento y energía \((2\pi)^4\delta^4(p_1 - q - p_3)\) y \((2\pi)^4\delta^4(p_2 + q - p_4)\) al primer diagrama y \((2\pi)^4\delta^4(p_1 - q - p_4)\) y \((2\pi)^4\delta^4(p_2 + q - p_3)\) al segundo diagrama.
Integramos hacia atrás partiendo del positrón que ingresa:
\[
\begin{aligned}
i(2\pi)^4 \delta(p_1+p_2-p_3-p_4) \mathcal{M}_1 = \int [\bar{v}^{(s_2)}(p_2)(ig_e \gamma^{\nu} )\epsilon_{\nu}^{*(s_4)}(p_4)] (2\pi)^4\delta(p_2+q-p_4) \\
i \frac{\gamma^{\mu} q_{\mu} + mc}{q^2 - (mc)^2} (2\pi)^4 \delta^4(p_1-q-p_3)
[\epsilon_{\mu}^{*(s_3)}(p_3) (ig_e\gamma^{\mu}) u^{(s_1)}(p_1)]
\end{aligned}
\]
\[
\mathcal{M_1} = \frac{-g_e^2}{(p_1 - p_3)^2-(mc)^2} \bar{v}(3) \cancel{\epsilon_4^*}(\cancel{p_1} - \cancel{p_3} + mc) \cancel{\epsilon_3^*} u(1)
\]
Por una parte notemos que podemos simplificar el denominador:
\[
(p_1 - p_3) ^2 - (mc)^2 = (p_1\cdot p_1) -(mc)^2 - 2(p_1\cdot p_3) + (p_3 \cdot p_3) = - 2(p_1\cdot p_3)
\]
Por otra parte la expresión dentro de los estados puede simplificarse como:
\[
(\cancel{p_1} - \cancel{p_3} + mc) \cancel{\epsilon_3^*} u(1)
= \cancel{\epsilon_3^*} (-\cancel{p_1} +\cancel{p_3} + mc) u(1)
= \cancel{\epsilon_3^*} \cancel{p_3} u(1)
\]
Donde usamos que \((\cancel{p}_1 - mc) u(1) = 0\), pues \(u(1)\) es una espinor de solución de la ecuación de Dirac. Por tanto, podemos reescribir las amplitud \(\mathcal{M}_1\) y \(\mathcal{M}_2\) como:
\[
\mathcal{M}_1 = \frac{g_e^2}{2(p_1\cdot p_3)} \bar{v}(2) \cancel{\epsilon_4^*} \cancel{\epsilon_3^*} \cancel{p_3} u(1)
\qquad
\mathcal{M}_2 = \frac{g_e^2}{2(p_1\cdot p_4)} \bar{v}(2) \cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} \cancel{p_4} u(1)
\]
La amplitud total es simplemente la suma de ambas contribuciones:
\[
\mathcal{M} = \mathcal{M}_1 + \mathcal{M}_2 = \frac{g_e^2}{2} \bar{v}(2)
\left( \frac{
\cancel{\epsilon_4^*} \cancel{\epsilon_3^*} \cancel{p_3}} {p_1\cdot p_3} +
\frac{
\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} \cancel{p_4}} {p_1\cdot p_4}
\right) u(1)
\]
Nos interesa sin embargo el valor esperado del modulo cuadrado de la amplitud. El modulo cuadrado de \(\mathcal{M}\) será:
\[
|\mathcal{M}|^2 = \mathcal{M}_1 \mathcal{M}_1^* + \mathcal{M}_1 \mathcal{M}_2^* + \mathcal{M}_2 \mathcal{M}_1^* + \mathcal{M}_2 \mathcal{M}^*_2
\]
En donde el conjugado \(\mathcal{M}_1^*\) puede expresarse como:
\[
\begin{aligned}
\mathcal{M}_1^* = \frac{g_e^2}{2(p_1\cdot p_3)} [\bar{v}(2) \cancel{\epsilon_4^*} \cancel{\epsilon_3^*} \cancel{p_3} u(1) ]^{*} \equiv ... [\bar{v}(2) \Gamma_1 u(1) ]^{\dagger}
\\
= ... [v(2) ^{\dagger} \gamma^0 \cancel{\epsilon_4^*} \cancel{\epsilon_3^*} \cancel{p_3} u(1) ]^{\dagger}
= ... [u(1)^{\dagger} \gamma^0 \gamma^0 \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} \gamma^0 u(1) ] \\
= ...
[\bar{u}(1) \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} v(2)]
\equiv
\frac{g_e^2}{2(p_1\cdot p_3)} \bar{u}(1) \bar{\Gamma}_1 v(2)
\end{aligned}
\]
En donde \(\Gamma = \cancel{\epsilon_4^*} \cancel{\epsilon_3^*} \cancel{p_3}\) y \(\bar{\Gamma} = \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4}\). Por otra parte el conjugado \(\mathcal{M}_2^*\) puede expresarse de la misma forma:
\[
\begin{aligned}
\mathcal{M}_2^* = \frac{g_e^2}{2(p_1\cdot p_4)}
[\bar{u}(1) \cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} \cancel{p_4} v(2)]^{*}
\equiv ... [\bar{v}(2) \Gamma_2 u(1)]^{\dagger}
\\
= ...[\bar{u}(1) \cancel{p_4} \cancel{\epsilon_4} \cancel{\epsilon_3} v(2)]
\equiv \frac{g_e^2}{2(p_1\cdot p_4)}\bar{u}(1) \bar{\Gamma}_2 v(2)
\end{aligned}
\]
Promediando sobre espines iniciales usando el truco de Casimir obtenemos las siguiente expresiones para los términos de \(\mathcal{M}\):
\[
\begin{aligned}
\langle \mathcal{M_1} \mathcal{M}_1^* \rangle = ...\text{Tr}[\Gamma_1(\cancel{p_1} + mc) \bar{\Gamma}_1 (\cancel{p_2} - mc)] \\
\\
\langle \mathcal{M_2} \mathcal{M}_1^* \rangle =... \text{Tr}[\Gamma_2(\cancel{p_1} + mc) \bar{\Gamma}_1 (\cancel{p_2} - mc)] \\
\\
\langle \mathcal{M_1} \mathcal{M}_2^* \rangle =... \text{Tr}[\Gamma_1(\cancel{p_1} + mc) \bar{\Gamma}_2 (\cancel{p_2} - mc)] \\
\\
\langle \mathcal{M_2} \mathcal{M}_2^* \rangle =... \text{Tr}[\Gamma_2(\cancel{p_1} + mc) \bar{\Gamma}_2 (\cancel{p_2} - mc)]
\end{aligned}
\]
Reemplazando:
\[
\begin{aligned}
\langle|\mathcal{M}|^2\rangle = \frac{g_e^4}{4(p_1\cdot p_3)^2} \text{Tr}[\cancel{\epsilon_4^*} \cancel{\epsilon_3^*} \cancel{p}_3 (\cancel{p_1}+ mc) \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} (\cancel{p_2} - mc)] \\
\\
\frac{g_e^4}{4(p_1\cdot p_4)(p_1\cdot p_3)} \text{Tr}[\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} \cancel{p_4} (\cancel{p_1}+ mc) \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} (\cancel{p_2} - mc)] \\
\\
\frac{g_e^4}{4(p_1\cdot p_3)(p_1\cdot p_4)} \text{Tr}[\cancel{\epsilon_4^*} \cancel{\epsilon_3^*} \cancel{p_3} (\cancel{p_1}+ mc) \cancel{p_4} \cancel{\epsilon_4} \cancel{\epsilon_3} (\cancel{p_2} - mc)] \\
\\
\frac{g_e^4}{4(p_1\cdot p_4)^2} \text{Tr}[\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} \cancel{p_4} (\cancel{p_1}+ mc) \cancel{p_4} \cancel{\epsilon_4} \cancel{\epsilon_3} (\cancel{p_2} - mc)] \\
\end{aligned}
\]
Esta expresión puede simplificarse aun mas usando algebras de Clifford. Hallemos la primera de las trazas.
\[
\begin{aligned}
T \equiv \text{Tr}[\cancel{\epsilon_4^*} \cancel{\epsilon_3^*}
\cancel{p_3} (\cancel{p}_1+ mc) \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} (\cancel{p_2} - mc)] \\
\\
= \text{Tr}[\cancel{\epsilon_4^*} \cancel{\epsilon_3^*}
\cancel{p_3} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} \cancel{p_2}] - (mc)^2 \text{Tr}[\cancel{\epsilon_4^*} \cancel{\epsilon_3^*}
\cancel{p_3} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} ] \\
\end{aligned}
\]
Donde se uso que la traza de un numero impar de matrices es cero. Notemos que el momento \(p_3\) corresponde a un fotón, por lo que \((p_3 \cdot p_3) = 0\). Teniendo en cuenta esto veamos que:
\[
\cancel{p_3}\cancel{p_3} = \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} p_{3\mu} p_{3\nu} = 2(p_3\cdot p_3) - \cancel{p_3}\cancel{p_3} = - \cancel{p_3}\cancel{p_3} =0
\]
Luego el segundo termino de la traza se anula. Podemos usar esta idea para simplificar el primer termino. Notemos que:
\[
\cancel{p_1}\cancel{p_3} = 2(p_1\cdot p_3) - \cancel{p_3} \cancel{p_1}
\]
Luego el termino restante se puede separar en dos sumas, una de las cuales vuelve a tener un termino \(\cancel{p_3}\cancel{p_3}\) que la vuelve nula. Esto es:
\[
\begin{aligned}
\Rightarrow T = 2(p_1\cdot p_3) \text{Tr}[\cancel{\epsilon_4^*} \cancel{\epsilon_3^*}
\cancel{p_3}\cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} \cancel{p_2}] - \text{Tr}[\cancel{\epsilon_4^*} \cancel{\epsilon_3^*}
\cancel{p_3} \cancel{p_3} \cancel{p_1} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} \cancel{p_2}]
\\
= 2(p_1\cdot p_3) \text{Tr}[\cancel{\epsilon_4^*} \cancel{\epsilon_3^*}
\cancel{p_3}\cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} \cancel{p_2}]
\end{aligned}
\]
Ahora, utilizando la transversalidad de la polarización (\(p_3 \cdot \epsilon_3 = 0\)), obtenemos las expresiones:
\[
\cancel{\epsilon_3} \cancel{p_3} = 2(\epsilon_3 \cdot p_3) - \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} = - \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3}
\]
\[
\cancel{\epsilon^*_3} \cancel{\epsilon_3} = \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} \epsilon^*_{3\mu} \epsilon_{3\nu} = \frac{1}{2} (\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} + \gamma^{\nu} \gamma^{\mu}) \epsilon^*_{3\mu} \epsilon_{3\nu} = g^{\mu\nu }\epsilon^*_{3\mu} \epsilon_{3\nu} = -1
\]
Reemplazando:
\[
T = 2(p_1\cdot p_3) \text{Tr}[\cancel{\epsilon_4^*}
\cancel{p_3} \cancel{\epsilon_4} \cancel{p_2}]
\]
Desarrollando los términos \(\cancel{p_3} \cancel{\epsilon_4}\) de la misma forma, la traza se puede expresar como:
\[
T_1 = 4(p_1\cdot p_3)(p_3\cdot\epsilon_4) \text{Tr}[\cancel{\epsilon_4^*} \cancel{p_2}] - 2(p_1\cdot p_3) \text{Tr}[\cancel{p_3} \cancel{p_2}]
\]
Evaluando las trazas que quedan:
\[
\text{Tr}[\cancel{\epsilon_4^*} \cancel{p_2}] = 4(\epsilon_4^* \cdot p_2)
\qquad
\text{Tr}[\cancel{p_3} \cancel{p_2}] = 4(p_3\cdot p_2)
\]
Obtenemos una expresión explicita para la traza en términos de los momentos.
\[
T_1 = 16(p_1\cdot p_3)(p_3\cdot\epsilon_4)(\epsilon_4^* \cdot p_2) - 8(p_1\cdot p_3) (p_3\cdot p_2)
\]
Usando la conservación del momento:
\[
p_1 + p_2 = p_3 + p_4
\]
\[
p_3 = p_1 + p_2 - p_4
\]
\[
p_3 \cdot \epsilon_4 = ( p_1 + p_2 - p_4) \cdot \epsilon_4 = p_2 \cdot \epsilon_4
\]
\[
(p_3\cdot\epsilon_4)(\epsilon_4^* \cdot p_2) = (p_2 \cdot \epsilon_4)(\epsilon_4^* \cdot p_2) = (p_2 \cdot\epsilon_4)^2
\]
Por otra parte:
\[
p_1 - p_4 = p_3 - p_2
\]
\[
(p_1 - p_4)^2 = (p_3 - p_2)^2
\]
\[
m^2c^2 -2(p_1\cdot p_4) = m^2c^2 - 2(p_3 \cdot p_2)
\]
\[
p_3 \cdot p_2 = p_1 \cdot p_4
\]
Finalmente:
\[
\langle \mathcal{M}_1 \mathcal{M}^*_1 \rangle = 2g_e^4 \left[ 2 \frac{(p_2\cdot\epsilon_4)^2}{(p_1\cdot p_3)} - \frac{(p_1\cdot p_4)}{(p_1\cdot p_3)} \right]
\]
De la misma forma se puede hallar \(\langle \mathcal{M}_2 \mathcal{M}^*_2 \rangle\) sustituyendo el orden de los fotones \(3 \leftrightarrow 4\) como en los diagramas, y obtenemos que:
\[
\langle \mathcal{M}_2 \mathcal{M}^*_2 \rangle = 2g_e^4 \left[2\frac{(p_2\cdot\epsilon_3)^2}{(p_1\cdot p_4)} - \frac{(p_1\cdot p_3)}{(p_1\cdot p_4)} \right]
\]
Nos quedan hallar las trazas correspondientes a los términos cruzados. Veamos la segunda traza:
\[
T_2 = \text{Tr}[\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} \cancel{p_4} (\cancel{p_1}+ mc) \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} (\cancel{p_2} - mc)]
\]
Usando la conservación del momento, notemos que:
\[
\cancel{p_2} = \cancel{p_3} + \cancel{p_4} - \cancel{p_1}
\]
Luego:
\[
\begin{aligned}
T_2 = - \text{Tr}[\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} \cancel{p_4} (\cancel{p_1} + mc) \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} (\cancel{p_1}+ mc) ] \\
+ \text{Tr}[\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} \cancel{p_4} (\cancel{p}_1+ mc) \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} (\cancel{p_3} + \cancel{p_4} ) ] \\ \\
= - \text{Tr}[\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} \cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} \cancel{p_1} ] - (mc)^2 \text{Tr}[\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} \cancel{p_4} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4}] \\
+ \text{Tr}[\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} \cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} (\cancel{p_3} + \cancel{p_4} ) ]
\end{aligned}
\]
En donde los términos con un numero impar de matrices nuevamente se anulan. Usamos que:
\[
\cancel{\epsilon_3} \cancel{p_1} = - \cancel{p_1} \cancel{\epsilon_3} \qquad
\cancel{\epsilon_4} \cancel{p_1} = - \cancel{p_1} \cancel{\epsilon_4}
\]
\[
\cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{p_1} = 2(p_1\cdot p_3) \cancel{p_1} - \cancel{p_3} \cancel{p_1} \cancel{p_1} = 2(p_1\cdot p_3) \cancel{p_1} - (mc)^2\cancel{p_3}
\]
Y la propiedad cíclica de la traza, podemos permutar las polarizaciones como:
\[
\begin{aligned}
\text{Tr}[\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} \cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} \cancel{p_1} ] =
\text{Tr}[ \cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{p_1}
\cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4}
\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} ]
\\ \\
= - 2(p_1 \cdot p_3 )\text{Tr}[ \cancel{p_4} \cancel{p_1}
\cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4}
\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} ]
+ (mc)^2 \text{Tr}[ \cancel{p_4} \cancel{p_3}
\cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4}
\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} ]
\end{aligned}
\]
El ultimo termino se anula con otro de la expresión principal, mientras que para el primero podemos permutar \(\cancel{p_1}\) con las polarizaciones usando las identidades arriba descritas, por lo que:
\[
\text{Tr}[ \cancel{p_4} \cancel{p_1}
\cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4}
\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} ] = \text{Tr}[ \cancel{p_1} \cancel{p_4}
\cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4}
\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} ] = \text{Tr}[ \frac{1}{2}(\cancel{p_1} \cancel{p_4} + \cancel{p_4} \cancel{p_1})
\cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4}
\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} ]
\]
Luego podemos reemplazar el termino simétrico usando que el anti conmutador de las matrices de Dirac esta dado por la métrica:
\[
\frac{1}{2}(\cancel{p_1} \cancel{p_4} + \cancel{p_4} \cancel{p_1}) = p_{1\mu} p_{4\nu} \frac{1}{2} (\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} + \gamma^{\nu} \gamma^{\mu}) = p_{1\mu} p_{4\nu} g^{\mu \nu} =(p_1 \cdot p_4)
\]
Luego
\[
\begin{aligned}
\text{Tr}[\cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4}\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*}] = \epsilon_{3\mu} \epsilon_{4\nu} \epsilon^*_{3\lambda} \epsilon^*_{4\sigma} 4(g^{\mu \nu}g^{\lambda \sigma} - g^{\mu \lambda}g^{\nu \sigma} + g^{\mu \sigma}g^{\nu \lambda}) \\ \\
= 4(\epsilon_3\cdot \epsilon_4)(\epsilon^*_3\cdot \epsilon^*_4) - 4(\epsilon_3\cdot \epsilon^*_3)(\epsilon_4\cdot \epsilon^*_4) + 4(\epsilon_3\cdot \epsilon^*_4) (\epsilon^*_3\cdot \epsilon_4) \\ \\
= 16(\epsilon_3\cdot \epsilon_4)^2 - 8\\
\end{aligned}
\]
Reemplazando obtenemos el primer termino de la traza:
\[
\begin{aligned} -
\text{Tr}[\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} \cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} \cancel{p_1} ] - (mc)^2 \text{Tr}[\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} \cancel{p_4} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4}] \\ \\
= -8(p_1\cdot p_3)(p_1\cdot p_4)\big(2(\epsilon_3\cdot \epsilon_4)^2 - 1 \big)
\end{aligned}
\]
Veamos ahora el segundo termino:
\[
\text{Tr}[\cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} \cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} (\cancel{p_3} + \cancel{p_4} ) ] =
\text{Tr}[\cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} (\cancel{p_3} + \cancel{p_4} ) \cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} ]
\]
Desarrollando los últimos términos dentro de la traza:
\[
(\cancel{p_3} + \cancel{p_4}) \cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} = - \cancel{\epsilon^*_3} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon^*_4} + \cancel{p_4} \cancel{\epsilon^*_3} \cancel{\epsilon^*_4} = - \cancel{\epsilon^*_3} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon^*_4} + 2(p_4 \cdot \epsilon^*_3) \cancel{\epsilon^*_4} - \cancel{\epsilon^*_3} \cancel{p_4} \cancel{\epsilon^*_4}
\]
La traza será:
\[
\begin{aligned}
...= 2(p_4 \cdot \epsilon^*_3) \text{Tr}[\cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} \cancel{\epsilon_4^*} ] - \text{Tr}[\cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} \cancel{\epsilon_3^*} (\cancel{p_3} + \cancel{p_4})\cancel{\epsilon_4^*} ] \\ \\
=
2(p_4 \cdot \epsilon^*_3) \text{Tr}[\cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} \cancel{\epsilon_4^*} ] - \text{Tr}[\cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} \cancel{\epsilon_3^*} \cancel{p_3}\cancel{\epsilon_4^*} ] \\ \\
= -
2(p_4 \cdot \epsilon^*_3) \text{Tr}[\cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} ] + \text{Tr}[\cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} ]
\end{aligned}
\]
En donde se utilizó que \(\cancel{p_4} \cancel{\epsilon^*_4} = - \cancel{\epsilon^*_4}\cancel{p_4}\) y \(\cancel{p_4} \cancel{p_4} = 0\) para simplificar.
\[
\begin{aligned}
\text{Tr}[\cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} ] \\ \\
= 2(\epsilon_4\cdot p_3)
\text{Tr}[\cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} ] +
\text{Tr}[\cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_4} \cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} ] \\ \\
= 2(\epsilon_4\cdot p_3)
\text{Tr}[\cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} \cancel{\epsilon_3^*} \cancel{\epsilon_4^*} ] = - 2(\epsilon_4\cdot p_3)
\text{Tr}[\cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_4^*} ]
\end{aligned}
\]
Luego la traza será:
\[
... = -
2(p_4 \cdot \epsilon^*_3) \text{Tr}[\cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} ] - 2(\epsilon_4\cdot p_3)
\text{Tr}[\cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_4^*} ] \\ \\
\]
Evaluando:
\[
\begin{aligned}
\text{Tr}[\cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon_3} ] = p_{4\mu} p_{1\nu} p_{3\lambda} \epsilon_{3 \sigma} \text{Tr}[\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} \gamma^{\lambda} \gamma^{\sigma}]
\\ \\
= p_{4\mu} p_{1\nu} p_{3\lambda} \epsilon_{3 \sigma} 4(g^{\mu\nu} g^{\lambda \sigma} - g^{\mu\lambda} g^{\nu \sigma} + g^{\mu\sigma} g^{\nu \lambda})
\\ \\
= 4(p_4\cdot p_1)( p_3 \cdot \epsilon_3) - 4(p_4 \cdot p_3)(p_1 \cdot \epsilon_3) + 4(p_4 \cdot \epsilon_3) (p_1\cdot p_3)
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\text{Tr}[\cancel{p_4} \cancel{p_1} \cancel{p_3} \cancel{\epsilon^*_4} ] = p_{4\mu} p_{1\nu} p_{3\lambda} \epsilon_{4 \sigma} \text{Tr}[\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} \gamma^{\lambda} \gamma^{\sigma}]
\\ \\
= p_{4\mu} p_{1\nu} p_{3\lambda} \epsilon^*_{4 \sigma} 4(g^{\mu\nu} g^{\lambda \sigma} - g^{\mu\lambda} g^{\nu \sigma} + g^{\mu\sigma} g^{\nu \lambda})
\\ \\
= 4(p_4\cdot p_1)( p_3 \cdot \epsilon^*_4) - 4(p_4 \cdot p_3)(p_1 \cdot \epsilon^*_4) + 4(p_4 \cdot \epsilon^*_4) (p_1\cdot p_3)
\end{aligned}
\]
Usando que \(p_3\cdot \epsilon_3 = p_4 \cdot \epsilon_4 = 0\) y reemplazando:
\[
\begin{aligned}
... = -8(p_4 \cdot \epsilon^*_3) \big(- (p_4 \cdot p_3)(p_1 \cdot \epsilon_3) + (p_4 \cdot \epsilon_3) (p_1\cdot p_3)\big) \\ \\
-8 (\epsilon_4\cdot p_3) \big( (p_4\cdot p_1)( p_3 \cdot \epsilon^*_4) - (p_4 \cdot p_3)(p_1 \cdot \epsilon^*_4) \big)
\end{aligned}
\]
\[\begin{aligned}
=
- 8(p_4 \cdot \epsilon_3)^2(p_1\cdot p_3) - 8 (\epsilon_4\cdot p_3) ^2(p_1\cdot p_4) \\ \\+ 8(p_4 \cdot \epsilon^*_3) (p_4 \cdot p_3)(p_1 \cdot \epsilon_3) + 8(\epsilon_4\cdot p_3)(p_4 \cdot p_3)(p_1 \cdot \epsilon^*_4)
\end{aligned}
\]
Usando además que \(p_1 \cdot \epsilon_3 = p_1 \cdot \epsilon_4^* = 0\) los últimos dos términos se cancelan. Reemplazando todo, la segunda traza será:
\[
\begin{aligned}
... = -8 \big[ (p_1\cdot p_3)(p_1\cdot p_4)\big(2(\epsilon_3\cdot \epsilon_4)^2 - 1 \big) - (p_4 \cdot \epsilon_3)^2(p_1\cdot p_3) - (\epsilon_4\cdot p_3)^2(p_1\cdot p_4) \big] \\ \\
= (p_1\cdot p_3)( p_1\cdot p_4) \big[
2(\epsilon_3\cdot \epsilon_4)^2 - 1 + \frac{(p_4\cdot \epsilon_3)^2}{(p_1 \cdot p_4)}+ \frac{(\epsilon_3 \cdot p_4)^2}{(p_1 \cdot p_3)}
\big]
\end{aligned}
\]
\[
\langle \mathcal{M}_2 \mathcal{M}_1^* \rangle = 2g_e^2 \big[
2(\epsilon_3\cdot \epsilon_4)^2 - 1 + \frac{(p_4\cdot \epsilon_3)^2}{(p_1 \cdot p_4)}+ \frac{(\epsilon_4 \cdot p_3)^2}{(p_1 \cdot p_3)}
\big]
\]
Al igual que en el primer caso, podemos reemplazar los fotones como \(3 \leftrightarrow 4\) y obtener el termino restante.
\[
\langle \mathcal{M}_1 \mathcal{M}_2^* \rangle = 2g_e^2 \big[
2(\epsilon_4\cdot \epsilon_3)^2 - 1 + \frac{(p_3\cdot \epsilon_4)^2}{(p_1 \cdot p_3)}+ \frac{(\epsilon_3 \cdot p_4)^2}{(p_1 \cdot p_4)}
\big] =
\langle \mathcal{M}_2 \mathcal{M}_1^* \rangle
\]
Trayendo nuevamente los términos hallados al principio:
\[
\langle \mathcal{M}_1 \mathcal{M}^*_1 \rangle = 2g_e^4 \left[ 2 \frac{(p_2\cdot\epsilon_4)^2}{(p_1\cdot p_3)} - \frac{(p_1\cdot p_4)}{(p_1\cdot p_3)} \right]
\]
\[
\langle \mathcal{M}_2 \mathcal{M}^*_2 \rangle = 2g_e^4 \left[2\frac{(p_2\cdot\epsilon_3)^2}{(p_1\cdot p_4)} - \frac{(p_1\cdot p_3)}{(p_1\cdot p_4)} \right]
\]
El modulo cuadrado de la amplitud será:
\[
\langle |\mathcal{M}| ^2 \rangle = \langle |\mathcal{M}_1|^2 \rangle + \langle |\mathcal{M}_2|^2 \rangle + 2\langle \mathcal{M}_1 \mathcal{M}_2^* \rangle
\]